Bachelorarbeit: Riemannsche Fläche

Zur Veranschaulichung wurde im Zuge dieser Arbeit ein Video erstellt, das auf Youtube veröffentlicht wurde (siehe unten).

Die Theorie der Riemannschen Flächen wurde von Bernhard Riemann 1851 in seiner Dissertation "Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Größe" eingeführt und von Felix Klein und Hermann Weyl im folgenden verbreitet [2, S 161]. Die grundlegende Idee dabei ist, eine mehrdeutige analytische Funktion, wie sie z.B. die komplexe Wurzelfunktion oder der komplexe Logarithmus darstellt, auf einer komplizierteren Struktur als der komplexen Ebene zu definieren, um sich damit der Mehrdeutigkeit zu entledigen und eine bijektive Funktion zu erhalten. Dass sich die dabei entstehenden Flächen i.A. selbst durchdringen, ist dabei ein "notwendiges Übel der Riemannschen Fläche" [4, S 232]. Um ein derartiges Konstrukt mathematisch erfassen zu können, führte Riemann schließlich den Begriff der Mannigfaltigkeit ein.
Ziel dieser Bakkalaureatsarbeit ist es, dem mathematisch interessierten Ingenieur einen Einblick in Riemannsche Flächen zu geben. Vorrausgesetzt soll dabei nur die im Studium enthaltenen mathematischen Grundkenntnisse sowie grundlegende Funktionentheorie werden. Da viele der verwendeten Begriffe aus dem Bereich der Man- nigfaltigkeiten unverständlich wären, werden diese im Abschnitt 2 kurz eingeführt. Angesichts des begrenzten Umfangs der Arbeit und der enormen Weite des betrachteten Gebiets wurde im weiteren ein anschaulicher Zugang gewählt, welcher zeigen soll, was Riemannsche Flächen zu leisten imstande sind. Dafür wird die Materie im Wesentlichen anhand von Beispielen erläutert, ohne allzu formal zu werden.
Dementsprechend wird zu Beginn ein historischer und mathematischer Ausgangspunkt gelegt und einfache Beispiele zu reellen und komplexen Mannigfaltigkeiten gegeben. Im Anschluss wird auf die Riemannsche Zahlenkugel eingegangen und der Kontext zu meromorphen Funktionen gezeigt. Danach wird die Wurzelfläche aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet. Darauf aufbauend wird gezeigt, dass es sich bei der Fläche von sqrt(1-z2) ebenfalls um eine gedrehte Wurzelfläche handelt.